丘成桐，漢族客家人，1949年4月4日生於中國廣東汕頭，丘鎮英之子。現為哈佛大學數學系教授，清華大學數學科學中心主任。1983年獲得數學界的“諾貝爾獎”——菲爾茲獎，是迄今為止僅有的兩個獲得該獎的華人數學家之一。圖為丘成桐（右）和劉克峰先生。

陳省身先生（1911-2004年）

卡拉比空間

丘成桐與卡拉比先生

劉克峰 1965年12月生，現任浙江大學數學中心執行主任兼數學系主任、光彪講座教授、美國加州大學洛杉磯分校數學系教授。專業方向：微分幾何、拓扑、數學物理。現任國際頂尖數學雜志《幾何與分析通訊》主編。他榮獲了全球華人數學最高獎“晨興數學金獎”和2004年教育部十大科技進展獎。他還獲得了國際上著名的谷庚海默獎、全球華人數學家大會銀獎、斯隆（Sloan）獎和特曼（Terman）獎等。

演講人：劉克峰 時間：2月8日 地點：美國加州大學洛杉磯分校

20世紀50年代是幾何與拓扑學最輝煌的時代。一批年輕的數學家証明了一系列偉大的數學定理，開天辟地，創造了一個嶄新的時代。他們與他們的定理一起，熠熠生輝，照亮了整個數學的歷史。

卡拉比（Calabi）猜想在數學界的期盼中，等待著它真正的王者到來，這一等就是21年。

1941年的霍奇（Hodge）理論剛剛由魏爾（Weyl）和小平邦彥（Kodaira）整理完成。1945年陳省身引進的陳示性類由希策布魯赫（Hirzebruch）發揚光大，証明了拓扑中的符號差定理與代數幾何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程師出身的博特（Bott）証明了他不朽的同倫群周期性定理。這些結果很快激發出了Atiyah-Singer指標定理。塞爾（Serre）用勒雷（Leray）的譜序列計算了代數拓扑中球面的同倫群，用層論寫下了代數幾何名篇GAGA，將復分析系統地引入代數幾何。Kodaira証明了他著名的嵌入定理，發展了復流形的形變理論。稍后，米爾諾（Milnor）發現了七維怪球，納什（Nash）証明了黎曼（Riemann）流形的嵌入定理。這些偉大的數學家與他們的定理，如繁星閃耀在天空，令人目不暇給。

1954年的國際數學家大會，菲爾茲（Fields）獎的獲獎者是小平邦彥（Kodaira）和塞爾（Serre），他們的主要獲獎工作都是將復分析、微分幾何與代數幾何完美地結合在一起。正如魏爾（Weyl）在他的頒獎詞中所說：“他們的成就遠遠超越了他年輕時的夢想，他們的成就代表著數學一個新時代的到來。”

也是在這屆數學家大會上，31歲的意大利裔數學家卡拉比，在會議的邀請報告中用一頁紙寫下了他著名的猜想：令M為緊致的卡勒（Kahler）流形，那麼對其第一陳類中的任何一個（1，1）形式R，都存在唯一的一個卡勒度量，其Ricci形式恰好是R。卡拉比還粗略地描述了一個他的猜想的証明方案，並証明了，如果解存在，那必是唯一的。

但3年后，在1957年的一篇關於Calabi-Yau流形的幾何結構的文章中，他意識到這個証明根本行不通。這裡需要求解一個極為艱深而復雜的偏微分方程，叫作復的Monge-Ampere方程。他去請教20世紀最偉大的數學家之一的魏爾（Andre Weil）教授。魏爾說：“當時還沒有足夠的數學理論來攻克它。”

眾所周知，龐加萊（Poincare）著名的單值化定理告訴我們，一維復流形的萬有覆蓋隻有簡單的三種，球面、復平面和單位圓盤。如何將單值化定理推廣到高維流形，這個問題幾乎主導了現代幾何與拓扑的發展。而即使從復一維到復二維流形，問題的復雜性已經遠超想象，被數學家稱作是從天堂到了地獄。或者說是上帝創造了黎曼面，簡單美麗而又豐富多彩，是魔鬼制造了復曲面，內容復雜，令人眼花繚亂，頭暈目眩。卡拉比猜想可以認為是單值化定理在高維不可思議的大膽推廣，竟然給出了高維復流形中難得一見的一般規律。特別的是它在復卡勒流形的第一陳類大於零、等於零和小於零三個情形，指出了Kahler-Einstein度量的存在性，即此度量的第一陳形式等於其卡勒形式。這恰好對應於黎曼面三種單值化的推廣。

要知道，當時人們知道的愛因斯坦流形的例子都是局部齊性的，甚至都不知道復投影空間中的超曲面，如K3曲面上，是否有愛因斯坦度量。在這樣一種情況下，卡拉比竟然做出如此大膽的猜測，可見其膽識過人，也難怪此后多數幾何學家都懷疑此猜想的正確性，許多人都在努力尋找反例，而不是証明它。正如龐加萊的單值化定理，霍奇定理需要經過數年，乃至數十年努力才得到完美的証明一樣，卡拉比猜想也在數學界的期盼中，等待著它真正的王者到來，這一等就是21年。

塞爾說過：“一個真正好的數學猜想，它的解決應該隨之而來一系列的推論和綿延不斷的影響。”

還是在1957年，5歲的丘成桐正在世界的另一端過著清貧的生活，那時的香港幾乎沒有人知道什麼是微分幾何。14歲時父親的去世，更令他飽嘗人間冷暖，也造就了他不屈不撓的性格。11年后他進入香港中文大學，1969年，大學三年級的他便負笈求學來到伯克利（Berkeley)。那一年，著名的幾何學家伍鴻熙教授在給另一位著名幾何學家格林（Greene）的信中，預言這個19歲的年輕人將會改變微分幾何的面貌。很難知道伍鴻熙教授如何看出了一個19歲年輕人不同尋常的王者之氣。

讀研究生的第一年，丘成桐初試身手，便解決了微分幾何中一個有關負曲率流形基本群的結構問題，事后他才知道這就是微分幾何中著名的沃爾夫猜想。這一點頗像米爾諾（Milnor）把扭結理論裡的猜想當成家庭作業完成一樣。當遇到卡拉比猜想后，他像是見到了美麗的天使，一見鐘情。此后童話般的故事人人皆知，其中的痛苦與快樂也隻有丘成桐自己才能體會。后來他告訴所有人，他成功的訣竅是用苦功而非天才，他曾嘗試過近五千個實驗函數，來發展流形上梯度估計的技巧。所以我們知道，一隻蘋果掉到頭上，令牛頓豁然開朗地發明了微積分，那只是個傳說。為了解決卡拉比猜想，他需要系統地創建和發展流形上的非線性分析，特別是Monge-Ampere方程的理論、方法與技巧。他先與鄭紹遠合作，用實的Monge-Ampere方程解決了著名的閔可夫斯基（Minkowski）猜想和閔可夫斯基時空中的伯恩斯坦（Bernstein）問題，此后再將他自己發展的梯度估計技術發揮到極致，終於在1975年完全解決了卡拉比猜想。此時此刻，除了丘成桐，最高興的應該是卡拉比，從1954年到1975年，整整21年的夢想終於成為了現實！那一年的聖誕節，他、丘成桐和尼倫伯格（Nirenberg）一起在紐約的Courant研究所度過，整天就是討論丘成桐的証明。卡拉比猜想終於成為了Calabi-Yau定理！

卡拉比后來回憶，那是他一生中唯一的一次在聖誕節開會，而那個猜想的証明就是最好的聖誕禮物。1991年當他獲得了美國數學會終身成就獎時，他動情地說，我特別要感謝丘成桐，因為他，今天我才能站在這個領獎台上。

塞爾說過：“一個真正好的數學猜想，它的解決應該隨之而來一系列的推論和綿延不斷的影響。”卡拉比猜想就是如此，這裡我僅舉幾個例子。

首先，對於第一陳類小於和等於零的緊卡勒流形，卡拉比猜想告訴我們，Kahler-Einstein度量總是存在。其中對小於零的情形，其簡單的推論就解決了長期懸而未決的Severi猜想，復二維投影空間的復結構是唯一的，甚至任意維數復投影空間的卡勒復結構也是唯一的。

另一個匪夷所思的推論是，在任意維數的這類復流形上，存在一個奇妙的陳示性數不等式，而此前代數幾何學家卻隻能得到復二維的情形。第一陳類等於零的二維復流形是有名的K3曲面，托爾羅夫（Todorov）用Calabi-Yau定理証明了其周期映射是滿射，蕭蔭堂利用Calabi-Yau度量証明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。而高維數的第一陳類為零的復流形的基本結構定理也隨之而來。這些都是復幾何與代數幾何中著名的猜想，在卡拉比猜想証明之前，人們毫無辦法，望而卻步。

最令人驚奇的是上世紀80年代初，超弦學家們認識到第一陳類等於零的三維復流形，恰好是他們的大統一理論所需要的十維時空中的一個六維空間，這神秘的六維空間，在我們看不到的尺度裡主宰著我們大千世界的千變萬化。這個發現引發了物理學的一場革命。物理學家們興奮地把這類流形稱為Calabi-Yau空間，Yau便是丘成桐的英文姓氏。有興趣的朋友如果在Google中輸入Calabi-Yau，就會發現近40萬個條目。以至於不少物理學家都以為Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在這場物理學的革命中，每一個有重要貢獻的人都會名揚千古。Calabi-Yau也在數學中引發了一系列重大的進展，如超弦學家Candelas等人通過研究不同的Calabi-Yau流形給出的相同的超對稱共形場論所發現的鏡對稱猜想。這個猜想由丘成桐、連文豪與我以及Givental獨立証明，它解決了代數幾何中遺留了上百年的舒伯特（Schubert）計數問題。基於Calabi-Yau流形的基本結構，著名超弦學家威滕、瓦法（Vafa）等人發展的Chern-Simons與拓扑弦對偶理論給出了黎曼面模空間中許多奇妙的公式，如Marino-Vafa公式給出了無窮多個模空間積分的組合閉公式，此猜想由劉秋菊、周堅與我一起証明。可以說Calabi-Yau流形早已成為弦論學家們必不可少的魔匣，利用它，他們不斷地變換出令人炫目的猜想，這已經成為數學與理論物理發展的潮流，至今方興未艾。