卡拉比猜想的証明，也標志著微分幾何一個新時代的到來。

霍奇理論、小平邦彥嵌入定理、Calabi-Yau定理是復幾何發展史上的三個最偉大的裡程碑，也是整個數學中屈指可數的最美妙的定理。它們有許多異曲同工的地方。它們都是用微分幾何証明的，都是連接幾何與其他領域必不可少的橋梁，如代數幾何等。它們所需要的條件都簡單而容易驗証，都包含代數幾何與微分幾何中最有意義的一大類流形。它們的應用都給出源源不斷的重要推論，都成為復幾何教科書中必不可少的篇章。這是數學中所有偉大定理的共同特征。

卡拉比猜想的証明也標志著微分幾何一個新時代的到來。一個新的學科隨之產生，稱為幾何分析。它的定義就是用非線性微分方程的方法來系統地解決幾何與拓扑中的難題，反過來也用幾何的直觀與想法來理解偏微分方程的結構。

丘成桐在1978年的國際數學家大會的大會報告中系統而清晰地描繪了幾何分析與高維單值化理論的發展前景。由此方法，一系列著名的問題得到解決，特別是唐納森（Donaldson）為代表的規范場理論與低維拓扑的結合，漢密爾頓（Hamilton）的Ricci流與龐加萊猜想的歷史性進展，將幾何分析的發展帶到了一個高峰。

另一方面，早在1983年，丘成桐的學生曹懷東、?東（Bando）便在他的指導下，首先用Ricci流的方法開始研究卡勒流形上標准度量的存在性，使Kahler-Ricci流成為復流形研究中重要的工具之一。

另一個與卡拉比猜想密切相關的問題是代數幾何中全純向量叢的穩定性與其上的Hermitian-Einstein度量的對應問題，這個問題約化成一個與規范場理論相關的極為困難的非線性方程解的存在性問題。1986年丘成桐與烏倫貝克（Uhlenbeck）合作，在卡勒流形上完全解決了這個問題。稍后，唐納森也在投影流形上用不同的方法將這個問題解決。1988年，辛普森（Simpson）將這些結果推廣並與霍奇變分理論相結合，發展成為代數幾何中一個極為有效的工具。

對於復流形的切叢，Kahler-Einstein度量可以認為是沒有撓率的Hermitian-Einstein度量，所以Kahler-Eienstein度量意味著流形的切叢在代數幾何意義下是穩定的，但要更細致更深刻。多年來，丘成桐一直考慮什麼樣的代數穩定性對應著Kahler-Einstein度量的存在。從我1988年來到哈佛成為丘成桐的學生，他的討論班裡最多的話題就是代數幾何中各種穩定性的概念與相關的度量和分析問題。丘成桐的幾個學生，如田剛、李駿、梁乃聰和羅華章等人的博士論文都是討論這方面的題目。他的一些想法記錄在他1990年所發表的100個幾何問題集裡，這個問題集是為陳省身79歲生日而整理的。第65個問題就猜測Kahler-Einstein度量的存在性應該等價於代數幾何中幾何不變量意義下的穩定性。在第一陳類大於零的復流形上，這個猜想首次給出了Kahler-Einstein度量存在的充分必要條件，建立了標准度量與代數幾何的密切關系。他當時的不少學生，包括田剛在內，都感覺到丘成桐猜想指出了新的研究方向，非常漂亮，也很有意義，開始努力研究丘成桐猜想。在此之前丘成桐也考慮了如何用伯格曼核的想法來逼近Kahler-Einstein度量，如何將卡拉比猜想推廣到開流形與有奇點的流形上，並在幾篇著名的綜述文章中予以詳細的闡述。這些都成為今后復幾何發展的重要綱領，並引領了日后唐納森、田剛等人關於Kahler-Einstein度量方面的工作。基於他的一部分想法，丘成桐與鄭紹遠、莫毅明和田剛整理並發表了一系列的文章，其中一部分組成了田剛的博士論文。眾所周知，田剛的博士論文以及日后的主要工作大都從丘成桐的這些想法和猜想引發而來。

“落花人獨立，微雨燕雙飛”，這是丘成桐描述自己証明了卡拉比猜想時的心情所用的詩句。

與第一陳類小於和等於零的情況相反，直到丘成桐提出他的猜想前，第一陳類大於零的情況一直顯得頗為迷離。首先這類流形有不存在Kahler-Einstein度量的例子。在20世紀60年代，鬆島（Matsushima）証明了Kahler-Einstein流形的自同構群必須可約。80年代初，福復（Futaki）引進了此類流形上存在Khler-Einstein度量的障礙函數，被稱之為福復不變量。事實上，很多學者，如卡拉比、福復等都誤以為沒有全純向量場應該是Kahler-Einstein度量存在的唯一必要條件，並沒有意識到流形本身穩定的重要性。在較特殊的復二維情形，有一些存在性結果，但蕭蔭堂一直認為，這些結果並不完備，至今也還沒有完整的結果。此后近30年，田剛一直沿著丘成桐猜想所指出的研究方向不懈努力，試圖理解正曲率條件下，穩定性與Kahler-Einstein度量的存在性如何相關，他用福復不變量定義了一個解析穩定性的概念，稱為K-穩定性，並取得了一些進展。然而這個問題的真正突破來自於唐納森，他在2001年証明了如果卡勒流形上的卡勒類中存在一個常數量曲率的度量，並且其自同構群是離散的，那麼這個流形就是在代數幾何意義下是穩定的。唐納森所用的關健工具恰好是丘成桐考慮過的伯格曼核的逼近方法，他敏銳地觀察到伯格曼核漸進展開的第二項正是數量曲率，如果它為常數，則相應的偏微分方程便可解。此后唐納森引進了適合研究丘成桐猜想的代數幾何意義下的K-穩定性概念，並在2010年公布了証明K-穩定性與Kahler-Einstein度量存在等價性的丘成桐猜想的綱領，最近陳秀雄－唐納森-孫菘在網上發表了三篇文章實現了這些想法，而田剛在唐納森綱領的基礎上也宣稱完成了這個猜想的証明。由於這些文章都相當復雜，如唐納森等人寫了三篇長文，田剛在貼出自己的文章后還在不斷地做出修改，所以這些証明的正確性還有待專家們詳細驗証。

第一陳類大於零的復流形也叫作法諾流形，這類流形比第一陳類小於零的流形相對來得少，其內容也遠不如后者豐富，例如復一維情形隻有一個球面，而復二維的流形從拓扑來看也只是復投影空間吹大幾個點。更有意思的是代數幾何中研究這類流形的工具也遠比微分幾何的方法強大，特別是1979年森重文（Mori）在法諾流形上用有限域的技巧發現的有理曲線存在性，這是迄今為止微分幾何方法一直無法超越的天才發明。以此為工具，代數幾何學家對法諾流形幾何的了解走在了微分幾何研究的前面。